Jednačina elipse

Jednačina elipse

offline
  • Pridružio: 08 Mar 2013
  • Poruke: 3

Da li može neko da mi objasni zašto jednačina elipse glasi baš tako kako glasi - x^2/a^2 + y^2/b^2= 1?
Donekle mi je jasno da se dobija iy formule x^2*b^2 + y^2*a^2 (ovo je tako zbog proporcije 2 poluose, ako ne grijesim?), ali mi nije jasno, zasto je ovo sad = a^2*b^2.



Registruj se da bi učestvovao u diskusiji. Registrovanim korisnicima se NE prikazuju reklame unutar poruka.
online
  • Milan
  • Pridružio: 17 Dec 2007
  • Poruke: 10229
  • Gde živiš: Niš

Pomnoži prvu jednačinu koju si napisala sa a^2*b^2 i vidi šta dobiješ. Wink

Isto tako možeš drugu da podeliš sa a^2*b^2, pa opet vidi šta dobijaš. Wink



offline
  • Pridružio: 08 Mar 2013
  • Poruke: 3

Smile Znam to, ali mi nije jasno zašto baš sa a^2*b^2, odakle to ?

online
  • Milan
  • Pridružio: 17 Dec 2007
  • Poruke: 10229
  • Gde živiš: Niš

Zato što je tako pogodno za rad. Wink

Jednačinu možeš da pomnožiš bilo čime, bukvalno, tako da jednakost važi i dalje (naravno, množiš obe strane). Ako je tebi pogodno za rad da jednačinu pomnožiš sa Š, imaš potpuno pravo na to i to je matematički potpuno ispravno. Smile

offline
  • Pridružio: 08 Mar 2013
  • Poruke: 3

Aha! Hvala! Very Happy

online
  • Milan
  • Pridružio: 17 Dec 2007
  • Poruke: 10229
  • Gde živiš: Niš

Ako me sećanje ne vara, to je prelazak iz segmentnog u opšti oblik. Smile

offline
  • Pridružio: 20 Nov 2012
  • Poruke: 120
  • Gde živiš: Belgrade, Serbia

Ako je tvoje pitanje na koji način se došlo baš do te jednačine koja predstavlja elipsu, ta jednačina se može izvesti iz same definicije elipse, koja glasi:

def. Elipsa je geometrijsko mesto tačaka u ravni čiji je zbir odstojanja od dve date tačke konstantan.

Te dve tačke su fokusi (žiže). Postavimo koordinatni sistem tako da obe žiže budu na x-osi, a da im rastojanja od koordinatnog početka budu jednaka, tako da koordinata jedne žiže bude (-c,0), a koordinata druge (c,0). Zbir odstojanja bilo koje tačke elipse od jedne i od druge žiže, koji je po definiciji konstantan, obeležimo sa 2a.

Posmatramo proizvoljnu tačku s koordinatama (x,y). Iz Pitagorine teoreme dobijamo da je odstojanje te tačke od jedne žiže jednako √[(x+c)²+y²], a od druge √[(x-c)²+y²]. Uslov da ta tačka pripada elipsi je taj, da zbir ta dva odstojanja bude 2a, pa imamo jednačinu:

√[(x+c)²+y²]+√[(x-c)²+y²]=2a

Kad tu jednačinu sredimo (što je postupak u nekih 5–6 redova, da ih sad ne ispisujem), dobija se

(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)

Definišemo parametar b:

b²≡a²-c²

pa dobijamo jednačinu

b²x²+a²y²=a²b²

koja se naziva osna jednačina elipse. Kada podelimo obe strane sa a²b² dobijamo segmentni oblik:

x²/a²+y²/b²=1

Iz ove jednačine sledi da kada je x=0, tada je y=±b, a kada je y=0, tada je x=±a. Drugim rečima, četiri karakteristične tačke su (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b), tako da zaključujemo da parametar a predstavlja dužinu jedne poluose, a parametar b dužinu druge poluose.

offline
  • Pridružio: 23 Sep 2012
  • Poruke: 45

ako imamo F1, F2 - žiže, e - ekcentricitet, M proizvoljnu tačku, onda možemo vidjeti sledeće:
F1M + F2M = AB = 2a gdje je AB velika osa elipse, a - poluosa elipse tj dužina OA
slijedi da je CO=2b gdje je CO mala osa elipse, b- poluosa

odavde nam je e^2= a^2+b^2
ako udaljenost izmedju M i F1 nazovemo r1, onda će udaljenost izmedju M i F2 biti r2

r1 + r2 = 2a
kada se ovo zamjeni, ispada da je:
(√(x-e)² + (y-0)² + √(x-e)² + (y-0)²)=2a pa ćemo sve kvadrirati, dobije se kvadrat binoma lijevo, kad se sve to malo sredi, izmnoži i skrati dobije se:
-e²x²= a^4 -a²y² -a²x-a²e² ako pogledamo da je e²=a²-b²
dobijamo : -x²(a²-b²)=a²-a²y²-a²x - a²(a²-b²)
odatle je b²x² + a²y²=a²b² i kad podjelimo to sa a²b² dobije se onaj generalni oblik x²/a²+y²/b²=1

sve u svemu to je na kraju prelazak u segmentni oblik


Potreban je samo minut da se registrujete - da biste učestvovali u diskusiji:
Izaberite vaše korisničko ime [username] :
Vaša email adresa je [email] : Email adresa mora biti tačna!
Ukucajte željenu šifru [password] :
Ukucajte šifru ponovo [password again] :
Jezik [language] :




Ili se jednostavno uloguj preko Facebook-a:
Ko je trenutno na forumu
 

Ukupno su 834 korisnika na forumu :: 70 registrovanih, 12 sakrivenih i 752 gosta   ::   [ Administrator ] [ Supermoderator ] [ Moderator ] :: Detaljnije

Najviše korisnika na forumu ikad bilo je 1383 - dana 19 Okt 2014 22:26

Korisnici koji su trenutno na forumu:
Korisnici trenutno na forumu: 7umb4, Acid_Burn, AK 76, bladesu, BlekMen, Buzdovan, CheefCoach, Chuck Norris, coa93, darkangel2, Davor Kerezovic, dekao, Did, djolew, drgnk, drimer, dzoni25, E.L.I.T.E., Faki-Valjevo, Horten229, ivance95, Jovan Kovačević, ljuba.b, m4rk0, marayasasa, meinkampf, mika vrbas, Milan A. Nikolic, Milica Blagojevic, milimoj, MILO-VAN, minmatar34957, mpman, mungus, nemezisx, ninoslav1011, pandur, Penzula, Phalcon, potez xxv, proka89, RADOVAN.S, raketaš, rankopjescic, Raptor1, ray ban11, Recoba20, ruma, SlobaBgd, Snorks, sosko2, srdjan9, Srki94, ssekir75, stringer bell, SVEVID, t84dar, vasa.93, vasiljevic, Velibor Rado, veljko82, Vlada78, voja64, VP3987, White Knight, Wilson2, yrraf, zoel0009, Žan Klod vam dam, 31
Siguran hosting