Ekstremne vrednosti funkcije

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Moze li pomoc oko funkcije f(x,y)=x^2+y^2*e^x^2+xsinx treba da odredim ekstremne vrijednosti funkcije. Nadjem parcijalne izvode i izjednacim ih sa nulom. Iz druge jednacine dobijem da je y=0, ali kako da odredim x ?

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Tražimo da prvi parcijalni izvod funkcije f(x,y) po x bude nula:
(∂/∂x)f(x,y)=2x+2x⋅y²⋅e^x²+sinx+xcosx=0
Odmah je uočljivo da je jedno moguće rešenje x=0. Dokazaćemo da je to i jedino rešenje. Pretpostavimo da postoji još neko rešenje, koje je ≠0. Pošto smo, pri traženju tog rešenja, pretpostavili da je x≠0, dozvoljeno je da jednačinu podelimo sa x:
2+2y²⋅e^x²+(sinx)/x+cosx=0
Obeležimo levu stranu jednačine sa g(x):
g(x)=2+2y²⋅e^x²+(sinx)/x+cosx
i tražimo za koje x je g(x)=0.
Pošto znamo da je cosx≥-1, možemo pisati:
g(x)≥2+2y²⋅e^x²+(sinx)/x-1
g(x)≥1+2y²⋅e^x²+(sinx)/x
Pošto, na osnovu grafika funkcije (sinx)/x, znamo da je ona uvek >-1 (a to se i lako može dokazati), možemo, opet, pisati
g(x)>1+2y²⋅e^x²-1
g(x)>2y²⋅e^x²
Pošto je y²⋅e^x²≥0 (jednakost važi samo kada je y=0), zaključujemo da je
g(x)>0
što znači da njena vrednost nikad ne može biti nula, prema tome, prvo rešenje koje smo dobili, x=0, predstavlja i jedino rešenje.

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Hvala Vam puno! U medjuvremenu sam rijesila zadatak, pa nisam odavno provjeravala da li mi je neko odgovorio. Pozdrav za Vas.