Matematičke teoreme

• 2Ovo se svidja korisnicima: mcrule, Isidora01
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Pitagorina Teorema


Kvadrat nad hipotenuzom je jednak zbroju kvadrata nad katetama.
Pravougli trougao je trougao sa jednim pravim uglom (od 90 stepeni); a katete su dve strane koje čine pravi ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom kutu.
U slici ispod, a i b su katete pravkutnog trugla, a c je hipotenuza:





Pitagora je shvatio teoremu u ovom geometrijskom stilu, kao iskaz o površinama kvadrata:

Zbir površina plavog i crvenog kvadrata su jednake površini ljubičastog kvadrata.

Koristeći algebru, može se preformulirati ova teorema u moderni izraz sa opaskom da je površina kvadrata kvadrat dužine njegove stranice:
Uzimajuči da je trougao sa katetama dužina a i b i hipotenuze dužine c, onda
a² + b² = c²


[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]
još o Pitagorinoj teoremi možete pogledati na
[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]



Talesova teorema


Talesova teorema (prema Talesu iz Mileta) kaže da ako su A,B i C tačke na kružnici, a gdje A i C čine promijer (dijametar) kruga, onda je ugao ABC pravi (pod 90 stepeni).



Dokaz

Koristimo sljedeće dokaze: suma uglova u trouglu je jednaka dva prava ugla (180 stepeni) i da su uglovi baza jednakokrakog trougla isti.



Jednakost vršnih kutova



Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki



Poučak (K-S-K) o sukladnosti trokuta:

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u stranici i njoj dva priležeća kuta.



Promjer raspolavlja krug



Talesov" poučak o kutu nad promjerom:

Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut.



Talesov" poučak o omjerima:

Neka su pravci p i q paralelni i sijeku kut aOb. Tada su sljedeće dužine proporcionalne:



Zbroj kutova u trokutu je 180°.



Neka O bude centar trougla. Pošto je OA=OB=OC, OAB i OBC su jednakokraki trouglovi, i po jednakosti uglova jednakokrakih trouglova imamo da je OBC=OCB i BAO=ABO. Neka y = BAO i δ = OBC.
Pošto je suma uglova pravouglog trougla jednaka 180 stepeni, imamo:

2γ + γ ′ = 180°
i
2δ + δ ′ = 180°

...takođe, znamo da je

γ ′ + δ ′ = 180°

Sabirajuči prve dvije jednačine i oduzimajući treču, dobivamo

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

...što nakon poništavanja γ ′i δ ′, dobivamo

γ + δ = 90°


[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]
Još o Talesovoj teoremi možete pogledati na
[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]





Teorija brojeva


Fenomenalan tekst o teoriji brojeba možete pogledati na
[Link mogu videti samo ulogovani korisnici] [Link mogu videti samo ulogovani korisnici]

Napoleonova teorema i njena uopštenja


Citat:Iako Napoleonova teorema nije mnogo poznata i često korišćena (mada je u svakom slučaju daleko od totalno nepoznate) večeras sam je nešto proučavao pa sam pronašao i neka vrlo zanimljiva uopštenja, i da sve to ne bi propalo zapisaću ovde na jednom mestu.

Teoreme su sortirane po mojoj proceni njihove složenosti.

[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]


Stjuartova i Morlijeva teorema


[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]
[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]

[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]
[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]
[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]

Erdeš-Mordelova nejednakost i njena uopštenja


Citat:Pošto je Erdeš-Mordelova nejednakost jedna od najbitnijih nejednakosti u trouglu evo nešto priče o njoj zajedno sa uopštenjima koja sam uspeo da pronađem.


[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]


Teorema nejednakosti


[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]