Jednačina elipse

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Da li može neko da mi objasni zašto jednačina elipse glasi baš tako kako glasi - x^2/a^2 + y^2/b^2= 1?
Donekle mi je jasno da se dobija iy formule x^2*b^2 + y^2*a^2 (ovo je tako zbog proporcije 2 poluose, ako ne grijesim?), ali mi nije jasno, zasto je ovo sad = a^2*b^2.

• 1Ovo se svidja korisniku: imho
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Pomnoži prvu jednačinu koju si napisala sa a^2*b^2 i vidi šta dobiješ.

Isto tako možeš drugu da podeliš sa a^2*b^2, pa opet vidi šta dobijaš.

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Znam to, ali mi nije jasno zašto baš sa a^2*b^2, odakle to ?

• 1Ovo se svidja korisniku: imho
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Zato što je tako pogodno za rad.

Jednačinu možeš da pomnožiš bilo čime, bukvalno, tako da jednakost važi i dalje (naravno, množiš obe strane). Ako je tebi pogodno za rad da jednačinu pomnožiš sa Š, imaš potpuno pravo na to i to je matematički potpuno ispravno.

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Aha! Hvala!

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Ako me sećanje ne vara, to je prelazak iz segmentnog u opšti oblik.

• 1Ovo se svidja korisniku: vasa.93
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Ako je tvoje pitanje na koji način se došlo baš do te jednačine koja predstavlja elipsu, ta jednačina se može izvesti iz same definicije elipse, koja glasi:

def. Elipsa je geometrijsko mesto tačaka u ravni čiji je zbir odstojanja od dve date tačke konstantan.

Te dve tačke su fokusi (žiže). Postavimo koordinatni sistem tako da obe žiže budu na x-osi, a da im rastojanja od koordinatnog početka budu jednaka, tako da koordinata jedne žiže bude (-c,0), a koordinata druge (c,0). Zbir odstojanja bilo koje tačke elipse od jedne i od druge žiže, koji je po definiciji konstantan, obeležimo sa 2a.

Posmatramo proizvoljnu tačku s koordinatama (x,y). Iz Pitagorine teoreme dobijamo da je odstojanje te tačke od jedne žiže jednako √[(x+c)²+y²], a od druge √[(x-c)²+y²]. Uslov da ta tačka pripada elipsi je taj, da zbir ta dva odstojanja bude 2a, pa imamo jednačinu:

√[(x+c)²+y²]+√[(x-c)²+y²]=2a

Kad tu jednačinu sredimo (što je postupak u nekih 5–6 redova, da ih sad ne ispisujem), dobija se

(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)

Definišemo parametar b:

b²≡a²-c²

pa dobijamo jednačinu

b²x²+a²y²=a²b²

koja se naziva osna jednačina elipse. Kada podelimo obe strane sa a²b² dobijamo segmentni oblik:

x²/a²+y²/b²=1

Iz ove jednačine sledi da kada je x=0, tada je y=±b, a kada je y=0, tada je x=±a. Drugim rečima, četiri karakteristične tačke su (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b), tako da zaključujemo da parametar a predstavlja dužinu jedne poluose, a parametar b dužinu druge poluose.

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

ako imamo F1, F2 - žiže, e - ekcentricitet, M proizvoljnu tačku, onda možemo vidjeti sledeće:
F1M + F2M = AB = 2a gdje je AB velika osa elipse, a - poluosa elipse tj dužina OA
slijedi da je CO=2b gdje je CO mala osa elipse, b- poluosa

odavde nam je e^2= a^2+b^2
ako udaljenost izmedju M i F1 nazovemo r1, onda će udaljenost izmedju M i F2 biti r2

r1 + r2 = 2a
kada se ovo zamjeni, ispada da je:
(√(x-e)² + (y-0)² + √(x-e)² + (y-0)²)=2a pa ćemo sve kvadrirati, dobije se kvadrat binoma lijevo, kad se sve to malo sredi, izmnoži i skrati dobije se:
-e²x²= a^4 -a²y² -a²x-a²e² ako pogledamo da je e²=a²-b²
dobijamo : -x²(a²-b²)=a²-a²y²-a²x - a²(a²-b²)
odatle je b²x² + a²y²=a²b² i kad podjelimo to sa a²b² dobije se onaj generalni oblik x²/a²+y²/b²=1

sve u svemu to je na kraju prelazak u segmentni oblik