Racionalni brojevi /Tema Dodatna nastava za VI razred/

Racionalni brojevi /Tema Dodatna nastava za VI razred/

offline
  • Pridružio: 16 Mar 2010
  • Poruke: 160

RACIONALNI BROJEVI
-Periodični razlomci kroz primere-
(Za dodatnu nastavu za VI razred osnovne škole)

Miroslav B Mladenović
Nastavnik matematike
OŠ „Braća Milenković“ selo Šišava-lomnica
Vlasotince, Srbija
mmirac@ptt.rs


Saćetak(rezime): Kao što znamo, brojevi oblika p/q, gde je gde je peZ (ceo broj) peN (prirodan broj), zovu se Racionalni brojevi.
Racionalni broj se može predstaviti u obliku decimalnog zapisa-decimalnom razlomku(konačnog ili beskonačno periodičnog oblika ).
To se dobija veoma jednostavno deljenjem broja p brojem q, a deljenjem se dobijaju jedan i samo jedan od tri slučaja:
a) konačan i beskonačan decimalni razlomak (razvitak),
b) čisto periodičan decimalni razlomak(razvitak),
v) mešovito periodičan decimalan razlomak (razvitak).
Racionalni broj p/q koji ima decimalni zapis s konačno mnogo cfara zove se konačan decimalni razlomak.
Čisto periodičan decimalni razlomak pretvara se u običan razlomak, tako što se broj koji se sastoji od cifara perioda uzme za brojilac a imenilac ima onoliko devetki koliki je period tog broja.
Mešovito periodičan decimalni razlomak pretvara se u običan razlomak tako što se za brojilac uzme razlika b broja koji se sastoji od cifara pretperioda i perioda i broja koji se sastoji od cifara pretpreioda a imenilac ima onoliko devetki koliko cifara ima period i onoliko nula koliko cifara ima period .




Uvod
Znači, svaki racionalni broj oblika p/q može se izraziti u tkzv. Decimalnom (dekadnom, desetičnom) zapisu.
Tako je, na primer:
1/2=0,5000...; 1/3 =0.333...; Da bismo pojednostavili izlaganje govorićemo, po pravilu o pozitivnim racionalnim brojevima manjim od jedinice i njihovom zapisivanju.
Decimalni zapis racionalnog broja ima sledeću važnu osobinu: počev od neke decimale nadalje jedna cifra ili grupa cifara se ponavlja.
Na primer, broj 0,1010010001..., u kojem se broj nula između dveju uzastopnih jedinica povećava za jednu nulu, ili broj 1,414212...=2.
Racionalni broj p/q koji ima decimalni zapis s konačno mnogo cfara zove se konačan decimalni razlomak.
Ako decimalni zapis racionalnog broja ima beskonačao mnogo cifara, onda se takav racionalan broj zove beskonačni decimalni razlomak ili periodični razlomak.
Cifre koje se ponavljaju, čiji pini period tih cifara dužinu perioda. Tako broj
1/3=0.3333....=0,(3)-ima period 3 a dužinu 1 (neki stavljaju „crtu“ iznad cifre ili grupu cuifara koja se ponavlja) i zove se čisto periodičan decimalni razlomak.
Broj 2,408080...=2,4(80), ima period 08, a dužinu perioda 2 i zove se mešovito periodičan decimalni razlomak.
Cifra 4 u ovom broju se ne ponavlja i čini pretperiod.


Z a d a c i

Kod učenika se postavljaju sledeća dva zadatka:

1.) dati racionalni broj p/q napisati u decimalnom zapisu?
2.) Naći racionalni broj oblika koji ima dati decimalni zapis.

Učenici prvi zadatak rešavaju veoma jednostavno deljenjem broja p brojem q, a deljenjem dobijaju jedan i samo jedan od tri slučaja:

a) konačan decimalni razlomak,
b) čisto periodičan decimalni razlomak,
c) mešovito periodičan decimalan razlomak.

Ovde treba istaći da svaki racionalan broj p/q ima konačan ili beskonačan decimalni zapis.
Drugi zadatak za učenike je nešto složeniji i mi ćemo ga ovome pokazati preko primera, s isticanjem važnijih teorema bez dokaza (ostavljajući njihovo dokazivanje na časovima dodatne nastave).

P r i m e r 1.
Nađi racionalan a=p/q koji ima decimalni zapis a=0,21059.
Rešenje:

Ako broj a predstavimo u tkzv. Polinomijalnom obliku

2 3 4 5
a=2.10 +1.1/10 +0.1/10 + 5.1/10 +9.1/10 ,

dobićemo svođenjem na zajednički imenliac:
4 3 2 5 5
a= 2.10 +1/10 + 0.10 +5.10 + 9/10=21059/100000 +21059/(2.5) .


Teorema:
Racionalni broj p/q, peZ, a q različit od nule, ima konačan decimalni zapis i samo tada kada je q proizvod dvojki i petica.

P r i m e r 2.

Nađi racionalni broj oblika p/q koji ima beskonačni decimalni zapis a= 0,1515...=0.(15).

Kako je
2 4 6
a=0,1515....=15/10 + 15/10 + 15/ 10.....
2
množenjem brojem 10 dobijamo

2 2 4 6
10.a= 15+15/10 +15/10 +15/10 +,... =15+a.
2
Dakle, 10.a=15+a,
2
a=p/(10 -1), tojest. a=15/99 =5/33.

Uopšte, u slučaju čisto periodičnog decimalnog razlomaka a=0,(d1, d2.....dk)
Imamo: k
a = d1, d2.....dk/ (10 -1) = d1, d2.....dk /(99.......9)-u imeniocu k devetki ).

Iz ovoga imamo pravilo: čisto periodičan decimalni razlomak pretvara se u običan razlomak, tako što se broj koji se sastoji od cifara perioda uzme za brojilac a imenilac ima onoliko devetki koliki je period tog broja.


P r i m e r 3.
Nađi racionalan broj oblika p/q koji ima beskonačni decimalni zapis a=0,(234).
Rešenje:
Primenom datog pravila jednostavno nalazimo a0234/999=26/111.


P r i m r r 4.
Nađi racionalan broj oblika p/q koji ima neskonačni decimalni zapis a00,3(72).
Rešenje:

Kako je
A=0,3+0,0(72)=0,3+1/10. 0(72),
Primenjujući pravilo na broj 0,72 dobijamo:

A=3/10 +1/10 . 72/99 =3.99 +72/990 =3.(100-1)+ 72/990=372-3/990 = 369/990=41/110.

Uopšte u slučaju mešovito periodičnog decimalnog razlomka

a=0,c1 c2 ....cm (d1 d2 ...dk )

imamo: m m k
a=0,c1 c2 ....cm /10 + 1/ 10 . d1 d2 ...dk/10 -1.

k k
Na kraju imamo: a=0,c1 c2 ....cm d1 d2 ...dk - c1 c2 ....cm /10 ( 10 -1).


Na taj način imamo sledeće pravilo: mešovito periodičan decimalni razlomak pretvara se u običan razlomak tako što se za brojilac uzme razlika b broja koji se sastoji od cifara pretperioda i perioda ( u predhodnom primeru 372) i broja koji se sastoji od cifara pretpreioda a imenilac ima onoliko devetki koliko cifara ima period (dve devetke u našem primeru) i onoliko nula koliko cifara ima period (jedna nula).

P ri m e r 5.
Nađi racionalan broj oblika p/q koji ima beskonačni decimalni zapis a=0,43 (128-).
Primenom datog pravila dobijamo:
a=43128143/99900=43085/99900= 8618/19980.

Zaključak:-Na časovima dodatne nastave svaki nastavnik može samostalno sastaviti prikladne primere o periodičnim razlomcima, koristćei se datim teoremama i pravilima navedenih u ovom napisanom članku.
Vlasotince. Proleće 1995. godine Autor: Miroslav B. Mladenović-Mirac

Miroslav B Mladenović
Nastavnik matematike
OŠ „Braća Milenković“ selo Šišava-lomnica
Vlasotince, Srbija
mmirac@ptt.rs
27. mart 2010. godine Vlasotince



Registruj se da bi učestvovao u diskusiji. Registrovanim korisnicima se NE prikazuju reklame unutar poruka.
Ko je trenutno na forumu
 

Ukupno su 1052 korisnika na forumu :: 57 registrovanih, 7 sakrivenih i 988 gosta   ::   [ Administrator ] [ Supermoderator ] [ Moderator ] :: Detaljnije

Najviše korisnika na forumu ikad bilo je 3466 - dana 01 Jun 2021 17:07

Korisnici koji su trenutno na forumu:
Korisnici trenutno na forumu: Aleksa-, amonsrb, Apok, aramis s, arsa, Atomski čoban, Battlehammer, bojank, branko7, celik, cikadeda, Dannyboy, Denaya, dragon986, Drug pukovnik, goxin, GreenMan, Haryy, havoc995, Hoegaarden, ikan, ILGromovnik, Japidson, JOntra, Krusarac, kybonacci, Lieutenant, madza, manda87, MarKhan, Marko Marković, Markoni29, MB120mm, mercedesamg, Mercury, Mihajlo, miljannis, nenad81, nuke92, ofbeyond, ozz, pacika, pavle_pzs, pedja63, pein, Radiša, ruso, sakota79, Snorks, Srky Boy, StepskiVuk, VJ, vlvl, vobo, wizzardone, wolf431, yrraf