Aproksimacija kod eksponentizacije

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Da li bese n*a^n tezi nuli ako n tezi beskonacno i a je izmedju 0 i 1? Znam da vazi za a^n, a li da li ono n ispred pravi problem?
eh, pusta matematika, skroz sam je zaboravila

• 2Ovo se svidja korisnicima: imho, Mila_90
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Napisano: 21 Apr 2013 13:14

Da, važi. Ako ga a^n "odvuče" u nulu, proizvod bilo čega sa nečim što teži nuli će takođe da bude "odvučen" u nulu.

Dopuna: 21 Apr 2013 13:21

Ustvari, ne može baš tako da se posmatra.

Ali, svakakako, ono gore teži nuli kada n teži beskonačnosti i kada je a između 0 i 1. a^n je u tom slučaju beskonačno mala veličina dok je samo n beskonačno velika veličina. Međutim a^n je višeg reda od n, pa "brže" teži nuli nego što n teži beskonačnosti, i onda ceo izraz teži nuli.

• 2Ovo se svidja korisnicima: vasa.93, Mila_90
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Napisano: 21 Apr 2013 13:24

Da, ali to aⁿ (koje za 0<a<1 teži nuli) se množi sa n (koje teži beskonačnosti), pa bismo, za n→∞, imali izraz koji predstavlja proizvod nule i beskonačnosti.

Možda bi, zato, bolji odgovor bio – da, n⋅aⁿ teži nuli, zato što eksponencijalna funkcija (za izložilac 0<a<1) brže teži nuli nego što linearna teži beskonačnosti.

Dopuna: 21 Apr 2013 13:25

EDIT: Sad videh da si dopunio svoj post ispravkom.

• 2Ovo se svidja korisnicima: imho, Mila_90
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Napisano: 21 Apr 2013 13:26

I WolframAlpha je potvrdio: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+limit+n*a%5En+as+n-%3Einfinity


Dopuna: 21 Apr 2013 13:28

Jesam, ispravio sam se.
Brzopletost je mana, moja nažalost. A sa matematikom to ne valja...

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

vasa.93 ::Međutim a^n je višeg reda od n, pa "brže" teži nuli nego što n teži beskonačnosti, i onda ceo izraz teži nuli.

Kako misliš ovo brže teži nuli


EDIT:

To se radi ovako:

Napise u obliku n/(1/a^n)) pa kad se Lopitali dobije se 1/beskonacno=0

• 1Ovo se svidja korisniku: imho
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Pa tako lepo. Mislim, to je uslovno rečeno, ali je to da bi se razumelo.

Uzmimo za primer linearnu funkciju f(x)=x i stepenu funkciju g(x)=x². I uzmimo da x teži beskonačnosti.

Kada je x=1, f(x)=1, a g(x)=1.
Kada je x=2, f(x)=2, a g(x)=4.
Kada je x=3, f(x)=3, a g(x)=9.
Kada je x=4, f(x)=4, a g(x)=16.
.
.
.

Dakle, stepena funckija "brže" raste od linearne. Na grafiku se to manifestuje strmijim grafikom.

Eksponencijalna funkcija raste još brže od stepene...

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Pa n tezi beskonacno nije bas linearna funkcija, vise je konstanta! Zanima me kako ste izveli taj zakljucak da a^n brze tezi nuli nego n beskonacnosti

Svejedno, tako se ne radi zadatak!

• 2Ovo se svidja korisnicima: vasa.93, Mila_90
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Upravo kao što je Vasa93 rekao, aⁿ brže teži nuli nego što n teži ∞ (kada je 0<a<1), tj. aⁿ brže teži ∞ nego n (kada je a>1) – zapravo se ova dva slučaja svode na jedan.
Vrlo lako se i dokazuje da, kada je a>1, eksponencijalna funkcija brže teži ∞ od linearne, tj. da količnik n/aⁿ teži nuli:

Ima još sličnih primera, recimo da n! brže teži ∞ od aⁿ, zatim da n brže teži ∞ od logₔn...

• 2Ovo se svidja korisnicima: imho, Mila_90
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Konstantna funkcija je f(x)=c. Dakle, za svaku vrednost argumenta funkcija ima vrednost c.

Što se izvođenja zaključka tiče, nisam ga ja izveo. Izveo ga je neki matematičar, verovatno davno. A kad se sve lepo pogleda, vidi se da je tačno.

Ovaj zadatak se baš tako radi. Dakle, upoređivanjem beskonačno malih ili velikih veličina i upoređivanjem njihovih redova.
Postoji određeni deo matematike koji se bavi upoređivanjem fukcija. Dve funkcije se upoređuju tako što se za istu vrednost argumenta posmatra razlika njihovih vrednosti ili količnik njihovih vrednosti i na osnovu te razlike ili količnika se donose određeni zaključci. Te zaključke je moguće i dokazati, pa ako baš ne veruješ, samo napred.

• 1Ovo se svidja korisniku: vasa.93
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

nemanja066 ::Pa n tezi beskonacno nije bas linearna funkcija, vise je konstanta!
n nikako nije konstanta, nego je baš slučaj linearne funkcije, kod koje je koeficijent pravca 1, a slobodan član 0.
Ceo ovaj dokaz se, uz minimalne izmene, može sprovesti i za slučaj da linearna funkcija, umesto n, ima opšti oblik pn+q, p,q∈ℝ.