offline
- Pridružio: 15 Feb 2011
- Poruke: 157
- Gde živiš: Kovin
|
Da li su te relacije zadate na istom skupu ili pricamo o opstem slucaju?
U opstem slucaju bi moralo da se precizira koji nad kojim skupom je R1 presek R2 definisano.
Obrazlozenje:
neka je A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7}
i neka je r1 zadata na skupu A:
r1 = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2),(2,1),(4,4),(5,5),(4,5),(5,4)}
i r2 zadata na skupu B:
r2 = {(3,3),(4,4),(5,5),(3,4),(3,5),(4,5),(4,3),(5,3),(5,4),(6,6),(7,7),(6,7),(7,6)}
tada je r1 presek r2 = {(3,3),(4,4),(5,5),(4,5),(5,4)}
dakle ako je ova relacija definisana na A presek B, onda ce ona biti relacija ekvivalencije.
Ali ako je recimo definisemo na skupu: {1,2,3,4,5,6,7} onda nece biti relacija ekvivalencije.(nece biti refleksivna. ). Dakle
ako je definisemo na nekom skupu koje nadskup od A presek B ona ce biti simetricna i tranzitivna ali nece biti i refleksivna.
No pretpostavicu da su na istom skupu zadate neka je recimo to skup A.
Ako su definisane na istom skupu onda je lako dokazati da je r1 presek r2 relacija ekvivalencije.
Refleksivnost:
Ako je x proizvoljan element iz A onda par (x,x) pripada r1 i par (x,x) pripada r2. dakle par (x,x) pripada r1 presek r2. dakle refleksivna je.
Simetricnost:
Ako (x,y) pripada R1 presek r2 onda (x,y) pripada r1 i (x,y) pripada r2, dakle (y,x) pripada r1 i (y,x) pripada r2, dakle (y,x) pripada r1 presek r2. (kako su relacije r1 i r2 relacije ekvivalencije, one su simetricne).
Tranzitivnost:
AKo (x,y) pripada r1 presek r2 i (y,z) pripada r1 presek r2 onda vazi:
(x,y) pripada r1 i (x,y) pripada r2
(y,z) pripada r1 i (y,z) pripada r2
dakle sledi: (x,z) pripada r1 i (x,z) pripada r2, dakle (x,z) pripada r1 presek r2.
i onda je to relacije ekvivalencije.
|
