Matematička indukcija

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Da li bi neko mogao da dokaze ovu tvrdnju indukcijom? a i b su pozitivni, a n cio broj

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Jedan od nacina jeste indukcija, a zadatku se moze pristupiti i pomocu konveksnih funkcija...

Indukcija:




Konveksne funkcije:
Definicija:
Neka je f: V -> R neprekidna i V podskup od R ^ n, neka su a, b u V i 0<=t<=1.
Za f kazemo da je konveksna ako vazi f(t a + (1-t) b) <= t f(a) + (1-t) f(b).

U ovom slucaju, neka je f(x) = (x+1)^n, V=(0, beskonacno),
ovako definisina f je konveksna, pa za svako t, izmedju 0 i 1, i svako x iz (0, beskonacno),
vazi da je f(t x + (1-t) 1) <= t f(x) + (1-t) f(1),
uzimajuci da je t=1/2 i x = a/b
imamo (1/2(a/b)+1/2x1)^n <= (1/2) (a/b)^n +1/2,
odakle imamo b^(-n)(1/2 a + b)^n <= (1/2) (a/b)^n +1/2,
odakle mnozenjem obe strane sa b^n tvrdjenje sledi.
Takodje tvrdjenje vazi za svako n>=1, a moze se i prosiriti za svako a, b>0 dodavanjem jos tri slucaja.
1. Ako je a=b=0 tvrdjenje vazi (0<=0); a=0
2. Zatim, imamo (b/2)^n = b^n/2^n <=b^n/2, tvrdjenje vazi
3. b=0 isto kao predhodno samo a i b zamene mesta

Pozdrav