Matematički poznati zadaci i paradoksi

• 1Ovo se svidja korisniku: mcrule
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Uloguj se preko Facebooka da bi skinuo fajl:

Zenonovi paradoksi

Zenonovi paradoksi su zbunili, izazvali, utjecali, inspirisali i zadivljavali filozofe, matematičare, fizičare i školsku djecu, preko dvije hiljade godina.

Dihotomija


Dihotomija: kretanje je nemoguće jer "ono što je u pokretu mora prvo preći pola puta prije nego što stigne do cilja". (Aristotelova Fizika VI:9, 239b10) Zamislite stvar koja treba ići od tačke A do tačke B. Da bi došla do tačke B stvar prvo mora doći do srednje tačke B1 koja je između tačaka A i B. Ali, prije nego što se ovo dogodi stvar mora doći do tačke B2 koja je između tačaka A i B1. Slično, prije nego što može i to uraditi, mora prvo doći do tačke B3 koja je između A i B2, i tako dalje. Prema tome kretanje nikada ne može početi.

A-----B3-----B2-----------B1-------------------------B


Ahil i kornjača


Ahil i kornjača: "U utrci, najbrži trkač nikada ne može prestići najsporijeg, zato što gonitelj prvo mora doći do tačke odakle je gonjeni pošao, pa prema tome najsporiji uvijek ima prednost." (Aristotelova Fizika VI:9, 239b15) Zamislite da Ahil trči protiv kornjače. Ahil trči 10 puta brže od kornjače, ali počinje od tačke A, 100 metara iza kornjače koja je u tački K1 (kornjači ,koja je sporija, data je prednost). Da bi prestigao kornjaču, Ahil mora prvo doći do tačke K1. Međutim, kada je Ahil stigao do tačke K1, kornjača je prešla 10 metara i došla do tačke K2. Ponovo Ahil prči do K2. Ali, kao i prije, kada je prešao 10 metara kornjača je metar ispred njega, kod tačke K3, i tako dalje (kornjača će uvijek imati prednost nad Ahilom, ne bitno koliko mala ona bila). Prema tome Ahil nikada ne može prestići kornjaču.

A----------------------------K1----------------K2---K3


Predložena rešenja za Zenonov paradoks Ahil i Kornjača

Ahil i kornjača i Dihotomija, zavise od podijele udaljenosti na nizove udaljenosti koji postaju sve manji, pa su i subjekt istim protu-argumentima.

Aristotel je istakao da kao što se udaljenost smanjuje, vrijeme potrebno da se ta udaljenost pređe takođe se smanjuje. Takav pristup riješavanju paradoksa bi doveo do demanta tvrdnje da je potrebno beskonačno mnogo vremena da se pređe preko beskonačno mnogo udaljenosti.

Prije 212. p.n.e., Arhimed je razvio metod da izvede konačni odgovor za beskonačno mnogo članova koji postaju progresivno manji. Teoreme su razvijene u modernijim oblicima da bi postigle isti rezultat, ali sa tačnijom metodom za dokazivanje. Ove metode dozvoljavaju konstrukciju riješenja koje kažu da (pod normalnim uslovima) ako se udaljenosti stalno smanjuju, vrijeme je konačno.

Ova riješenja su u biti geometrijski nizovi. Opći geometrijski nizovi se mogu pisati kao



što je jednako ax/ (x - 1) uzevši da je x > 1 (u suprotnom niz je divergentan). Paradoksi se mogu riješiti pomoću geometrijskih sekvenci (nizova), ali je jednostavnije koristiti Aristotelovo riješenje, koje u obzir uzima vrijeme (a ne udaljenosti kao u nizovima) koje je potrebno Ahilu da sustigne kornjaču.

U slučaju Ahila i kornjače, treba zamisliti da kornjača trči sa konstantnom brzinom od v metara u sekundi (ms-1) i da dobija prednost od udaljenosti d metara (m), a da Ahil trči sa konstantnom brzinom od xv ms-1 sa x > 1. Ahileju je potrebno d/xv sekundi (s) da dođe do tačke sa koje je kornjača otpočela trku, a za to vrijeme kornjača je prešla d/x m. Poslije dužeg vremena d/x2v s, Ahil ima još jednu d/x m, i tako dalje. Prema tome, vrijeme potrebno Ahileju da sustigne kornjaču je



Pošto je ovo konačna vrijednost, Ahilej će jednom sustići kornjaču.


Strela



Stijela: "Ako je sve nepomično što zauzima prostor, i ako sve što je u pokretu zauzima takav prostor u nekom vremenu, onda je leteća strijela nepokretna." (Aristotelova Fizika VI:9, 239b5) Zamislite da strijela leti neprestano naprijed, tokom jednog vremenskog intervala. Uzmite svaki momenat u tom vremenskom intervalu. Nemoguće je da se strijela miće u takvom momentu, jer trenutak ima trajanje 0, i strijela ne može biti na dva mjesta u isto vrijeme. Prema tome, u svakom trenutku je strijela nepomična, i tako strijela je nepomična tokom čitavog intervala.


Ajnštajnov zadatak


Kviz je napravio Albert Ajnstajn tvrdeci da 98% ljudi nije u stanju da ga resi.

Da li ste medju onih 2% ?

Cinjenice:

1. Imate 5 kuca u 5 razlicitih boja.
2. U svakoj kuci zivi persona druge nacionalnosti.
3. Tih 5 persona pije posebna pica, pusi odredjene cigare i drzi razlicite ljubimce.
4. Niko nema istog ljubimca i ne pusi iste cigare, niti pije isto pice.

Podaci:

1. Britanac zivi u crvenoj kuci.
2. Svedjanin drzi psa.
3. Danac pije caj.
4. Zelena kuca je levo od bele kuce.
5. Vlasnik zelene kuce pije kafu.
6. Persona koja pusi "Pall-Mall" gaji ptice.
7. Vlasnik zute kuce pusi "Dunhil".
8. Covek koji zivi u kuci u centru pije mleko.
9. Norvezanin zivi u prvoj kuci.
10. Covek koji pusi "Blend" zivi pored onog koji drzi macku.
11. Onaj koji drzi konje zivi pored onog koji pusi "Dunhil".
12. Vlasnik koji pusi "Blue Master" pije pivo.
13. Nemac pusi "Prince".
14. Norvezanin zivi pored plave kuce.
15. Covek koji pusi "Blend" ima suseda koji pije vodu.

PITANJE: KO GAJI RIBE ?


Gospodin proizvod i gospodin suma


Dva broja izmedu 2 i 200 su pomnožena i šapnuta na uvo Gospodinu Proizvodu, zatim sabrana i šapnuta na uvo Gospodinu Sumi. Gospoda su inace savršeni logicari.

Gospodin Proizvod kaže: Ja ne znam koji su brojevi.
Gospodin Suma kaže: Ni ja, ali sam vec znao da ti ne znaš.
Gospodin Proizvod kaže: Aha, ok, sad znam koji su.
Gospodin Suma kaže: Sad znam i ja.

Naravno, pitanje glasi: koji su to brojevi?


Neki od poznatih matematičkih zadataka




[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]
[Link mogu videti samo ulogovani korisnici]

---------------------------------------------------------------------------------

Ako još neko zna neke zanimljive matematičke zadatke ili dr. neka ih napiše ovde

Dopuna: 16 Maj 2006 21:16

Zadatak 1:

Osoba A ima tri brata: osobe B, C i D, i nema više braće ni sestara. Svih četvoro
žive u istoj ulici. Osoba A živi u kući koja ima 3 prozora i 2 vrata. Osoba B ima
onoliko prozora koliko osoba C ima vrata, i osoba B ima onoliko vrata koliko osoba C
ima prozora. Osoba D ima onoliko prozora koliko iznosi zbir svih prozora njegove
braće, i onoliko vrata koliko iznosi zbir svih vrata njegove braće, i pri tome osoba D
ima jednak broj vrata i prozora. Da li tašta osobe A živi u toj ulici?


Zadatak 2:

Nalazite se u sobi sa 3 prekidača. U drugoj sobi se nalaze 3 sijalice. Zna se da
svaki prekidač pali tačno jednu sijalicu, i da je svaku sijalicu moguće upaliti nekim
prekidačem. Smete da iskoristite prekidače, a zatim samo jednom da uđete u sobu
sa sijalicama, i odredite koji prekidač pali koju.

Dopuna: 16 Maj 2006 22:36

Uzgred jel zna neko kako beše ide ono da je 1 + 1 = 3 ?

To su naravno gluposti ali bih voleo da znam čisto kako su oni do navodno dokazali da je "1+1=3"

• 2Ovo se svidja korisnicima: limes5, mcrule
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Mani je zanimljiv sljedeći paradoks:
površina koju zatvaraju kriva y=1/x, apscira i prava x=1 je beskonačne veličine. Ta beskonačna površina kada rotira oko apscise formira tijelo konačne zapremine, štaviše prilično male zapremine.

Provjerite.

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

...a kako ide rjesenje onog sa logicarima?????.........

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Zanimljiv je i dokaz da je 1=2

Naime, polazi se od: a=b
Pomnozimo obe strane sa a...
a^2=ab
Dodajmo na obe strane a^2-2ab i dobicemo:
a^2+a^2-2ab=ab+a^2-2ab

sto je isto sto i:

2(a^2-ab)=a^2-ab
Podelimo obe strane sa a^2-ab
i dobicemo da je 1=2

Dopuna: 02 Jan 2008 0:23

Moze li neko da pronadje 3 prirodna broja npr. a,b i c
(nula ne dolazi u obzir) za koja ce vaziti:
a^3+b^3=c^3

• 1Ovo se svidja korisniku: mcrule
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

@teddy bear,
sve se na taj fazon tipa dokaz da je 1=2 svodi se na isto... mislim ono, zabranjeno deljenje, ima nekoliko tema ispod ove isti taj primer.

Mene takodje interesuje ono sa logicarima,ako neko zna, moze li da napise resenje.
Mislim da znam u cemu je stvar sa ona tri prekidaca, i znam to da resim, ali ne znam onaj prvi zadatak sa prozorim, vratima, i na kraju sa TASTOM?

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

timmy_sa ::...a kako ide rjesenje onog sa logicarima?????.........
Jedino zbir cifara 13 daje u svim varijantama po dva resenja za proizvod.
Zato je g. suma znao da g proizvod nezna resenje.
Kad je proizvod cuo da suma zna da on nezna znao je da je zbir 13.
Rekao je ja sad znam. To je sumu nanelo na zakljucak da je proizvod 30,jer u protivnom nebi mogao znati.
dakle brojevi su 3 i 10

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

@N1k0l4

Nisam videla da ima tema sa tim primerom a
neko je ovde trazio "dokaz" da je 1+1=3 pa sam
mislila da i ovo tu spada.

A zanimljiv je i ovaj drugi problem sto sam ga postavila.
Naime, taj problem je poznat kao POSLEDNJA FERMAOVA TEOREMA.
Najveci matematicari su pokusavali da je dokazu vise od 300 godina
da bi bila dokazana tek 1996. To ne bi bilo toliko strasno da njen
tvorac Fermao nije tvrdio da ima tako ocigledan dokaz ali margina knjige
(u kojoj je belezio sva svoja zapazanja) je isuvise mala...

Teorema je dokazana da ne postoje takva tri broja i dokaz je stao na
vise od 100 strana...

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

evo resenja za zadatak sa tri prirodna broja
10^3+3^3=13^3
30 + 9 =39
39=39
je li tako

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

@nesho_15
Mislim da nije tako zato sto
a^3 (nije jednako) 3 x a
nego ovo:
a^3 = a x a x a

Dopuna: 18 Maj 2008 20:10

x = puta

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

jeste...a^3=a*a*a to je treci stepen broja a